1.2 叠加原理
量子力学中的运动概念和经典力学相比较有了根本性的改变，当然，这就要求理论的数学表述作出同样的根本改变。对此，我们必须首先考虑量子力学中态的描述方法。
我们用$q$表示量子系统坐标的集合，用 ${\rm d}q$ 表示这组坐标的微分的乘积。 ${\rm d}q$ 通常称为该系统位形空间中的一个体积元；对单粒子来讲， ${\rm d}q$ 等同于普通空间中的一个体积元 ${\rm d}V$$。
量子力学的数学表述基于这样的一个命题：在某一给定时刻，一个系统的状态可以用一个确定的坐标函数 $\mit\Psi(q)$ （通常为复函数）来描述。这个函数的模量平方确定了坐标值的概率分布：对系统进行坐标测量时，测量所得诸值处于位形空间的 ${\rm d}q$ 体积元内的概率等于 $\mid\mit\Psi\mid^2{\rm d}q$ 。函数称为该系统的波函数[1]。
知道波函数后，我们还能在原则上算出任何其它测量（不一定是坐标测量）结果的概率。所有这些概率都可由和的双线性表式所确定。这种表式的最一般形式为$$\iint\mathit{\Psi(q)\Psi^*(q’)}\phi(q,q’){\rm d}q{\rm d}q’ \rm\tag{2.1}$$
其中的 $$\phi(q,q’)$$ 函数依赖于测量的结果及性质，积分则遍及整个位形空间。坐标值的概率式 $$\mathit{\Psi\Psi^*}$$ 本身，也是属于这种类型的一个表式[2]。
一般讲来，系统的状态及其波函数会随时间变化。在这种意义下，波函数也可以看成是时间的函数。如果某一起始时刻的波函数是已知的，那么，根据状态的完全描述这一概念本身所具的含义，在原则上可确定此后每一时刻的波函数。波函数对时间的具体依赖关系，将由以后导出的方程式来确定。
根据定义，一个系统的各种可能坐标值的概率总和必须等于1。故 $$\mid\mathit\Psi\mid^2$$ 对整个位形空间的积分结果必须等于1：
$$ \int\mid\mathit\Psi\mid^2{\rm d}q={\rm 1} $$
这个等式称为波函数的归一化条件。如果 $$\mid\mathit\Psi\mid^2$$ 的积分是收敛的，那么，只要适当选择函数 $$\mathit\Psi$$ 前的常数系数，总能使 $$\mathit\Psi$$ 得到归一化。但是，我们在以后还会碰到 $$\mid\mathit\Psi\mid^2$$ 的积分为发散的波函数。以致无法用条件（2.2）加以归一化。当然，这种情形下的 $$\mid\mathit\Psi\mid^2$$ 并不代表坐标的绝对概率值，但是，在位形空间中两个不同点处的 $$\mid\mathit\Psi\mid^2$$ 的比值，可给出这两处坐标值的相对概率。
凡用波函数算出并且具有直接物理意义的各种量，都呈（2.1）式的形式，式中的 $$\mathit\Psi$$ 总是跟 $$\mathit\Psi^*$$ 乘在一起，由于这一点，归一化的波函数显然可以包含一个具有 $e^{i\alpha}$ （ $\alpha$ 为任一实数）形式的不确定的常数相因子，这个因子的模量等于1。这种不确定性原则上是无法消除的；但它无关紧要，因为它并不影响任何物理结果。
量子力学的积极内容是建立在有关波函数性质的一系列假定的基础之上的。这些假定如下：
设在波函数为 $$\mathit\Psi_1(q)$$ 的态中进行某种测量可以获得可靠的肯定结果（称为结果1），而在 $$\mathit\Psi_2(q)$$ 的态中进行这种测量也可以获得可靠的肯定结果2。那么可以假定，在 $$\mathit\Psi_1(q)$$ 和 $$\mathit\Psi_2(q)$$ 的任一线性叠加所给出的态中，即在任一具有 $$c_1\mathit\Psi_1{\rm +}c_2\mathit\Psi_2$$ 函数形式（其中 $$c_1$$ 和 $$c_2$$ 为常数）的态中，行该种测量所得的结果或者是1，或者是2。此外，还可进一步假定，只要以上两个态的时间依赖关系是已知的，也就是一个由函数 $$\mathit\Psi_1(q,t)$$ 给出，另一个由函数 $$\mathit\Psi_2(q,t)$$ 给出，那么，它们的任一线性叠加也给出了这个叠加态的可能的时间依赖关系。以上这些假定，构成了量子力学的一个首要原理，称为状态叠加原理。从这个原理可以立刻知道，波函数所满足的一切方程必须对 $$\mathit\Psi$$ 保持线性。
现在让我们考虑一个系统，它由两个子系统所组成，并且假定这个系统处于这样的状态，它的每一个子系统都是完全描述的[3]。那么我们可以断言，第一个子系统的 $$q_1$$ 坐标概率和第二个子系统的 $$q_2$$ 坐标概率彼此无关，从而整个系统的概率分布必然等于这两个子系统的概率分布的乘积。这就是说，该系统的波函数业 $$\mathit\Psi_{12}(q_1,q_2)$$ 可以表为这两个子系统波函数 $$\mathit\Psi_1(q_1)$$ 和 $$\mit\Psi_2(q_2)$$ 的乘积： $$ \mathit\Psi_{12}{\rm =}\mathit{\Psi_1(q_1)\Psi_2(q_2)} \rm\tag{2.3} $$ 如果这两个子系统没有相互作用，那么，整个系统及其两部分之间的上述波函数关系式在此后各时刻仍将保持不变，即可写成
$$ \mathit\Psi_{12}(q_1,q_2,t)\rm=\mathit{\Psi_1(q_1,t)\Psi_2(q_2,t)} \rm\tag{2.4} $$
注释：
[1]：波函数是由薛定谔于1926年首先引入量子力学的
[2]：（2.1）式中当 $$\phi(q,q’)\rm=\delta(q-q_0)\delta(q’-q_0)$$ 时可得 $$\mathit{\Psi(q_0)\Psi^*(q_0)}$$ ，其中的 $$\delta$$ 代表后面 § 5中定义的德耳塔函数； $$q_0$$ 为我们欲求其概率的一组坐标值。
[3]：当然，这意味着整个系统的态也是完全描述的。但应强调指出相反的情况并不成立：如果整个系统的态是完全描述的，一般来讲，它并不能由此确定各个个别部分的态（又见 § 14）。